Question

19．如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是弧AD的中點，弦CE⊥AB于點E，過點D的切線交EC的延長線于點G，連接AD，分別交CE、CB于點P、Q，連接AC，給出下列結(jié)論：①∠DAC=∠ABC；②AD=CB；③點P是△ACQ的外心；④AC²=AE•AB；⑤CB∥GD，其中正確的結(jié)論是（　　）

• A． ①③⑤
• B． ②④⑤
• C． ①②⑤
• D． ①③④

Answer 1

分析 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，據(jù)此推理可得①正確，②錯誤；通過推理可得∠ACE=∠CAP，得出AP=CP，再根據(jù)∠PCQ=∠PQC，可得出PC=PQ，進而得到AP=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點，故P為Rt△ACQ的外心，即可得出③正確；連接BD，則∠ADG=∠ABD，根據(jù)∠ADG≠∠BAC，∠BAC=∠BCE=∠PQC，可得出∠ADG≠∠PQC，進而得到CB與GD不平行，可得⑤錯誤．

解答 解：∵在⊙O中，點C是$\widehat{AD}$的中點，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠CAD=∠ABC，故①正確；

∵$\widehat{AC}$≠$\widehat{BD}$，
∴$\widehat{AD}$≠$\widehat{BC}$，
∴AD≠BC，故②錯誤；

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE=∠ABC+∠CAE=90°，
∴∠ACE=∠ABC，
又∵C為$\widehat{AD}$的中點，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{CD}$，
∴∠CAP=∠ABC，
∴∠ACE=∠CAP，
∴AP=CP，
∵∠ACQ=90°，
∴∠ACP+∠PCQ=∠CAP+∠PQC=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點，
∴P為Rt△ACQ的外心，故③正確；

∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵CE⊥AB
∴根據(jù)射影定理，可得AC²=AE•AB，故④正確；

如圖，連接BD，則∠ADG=∠ABD，
∵$\widehat{AC}$≠$\widehat{BD}$，
∴$\widehat{AD}$≠$\widehat{BC}$，
∴∠ABD≠∠BAC，
∴∠ADG≠∠BAC，
又∵∠BAC=∠BCE=∠PQC，
∴∠ADG≠∠PQC，
∴CB與GD不平行，故⑤錯誤．
故答案為：D．

點評 此題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，射影定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的外接圓與圓心的綜合應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)及定理是解決本題的關(guān)鍵．解題時注意：弦切角等于弦所對的圓周角．