Question

【題目】如圖，在中，，，點是邊上的動點（點不與點重合），點在邊的延長線上，，，與邊交于點.

（1）求的值；

（2）當時，求的長；

（3）點在邊上運動的過程中，的值是否會發生變化？如果不變化，請求的值；如果變化，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．解直角三角形求出BM，AM即可解決問題．

（2）設AH交CD于K．首先證明AK=CK，設AK=CK=x，在Rt△CHK中，理由勾股定理求出x，再證明△ADK∽△CDA，理由相似三角形的性質構建方程組即可解決問題．

（3）結論：AD：BE=5：6值不變．證明△ACD∽△BCE，可得．

（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴BH=CH=3，

∴，

∵，

∴BM=，

∴，

∴．

（2）設AH交CD于K．

∵∠BAC=2∠ACD，∠BAH=∠CAH，

∴∠CAK=∠ACK，

∴CK=AK，設CK=AK=x，

在Rt△CKH中，則有x2=（4-x）2+32，

解得x=，

∴AK=CK=，

∵∠ADK=∠ADC，∠DAK=∠ACD，

∴△ADK∽△CDA，

∴，設AD=m，DK=n，

則有，解得．

∴AD=．

（3）結論：AD：BE=5：6值不變．

理由：∵∠GBE=∠ABC，∠BAC+2∠ABC=180°，∠GBE+∠EBC+∠ABC=180°，

∴∠EBC=∠BAC，

∵∠EDC=∠BAC，

∴∠EBC=∠EDC，

∴D，B，E，C四點共圓，

∴∠EDB=∠ECB，

∵∠EDB+∠EDC=∠ACD+∠DAC，∠EDC=∠DAC，

∴∠EDB=∠ACD，

∴∠ECB=∠ACD，

∴△ACD∽△BCE，

∴．