Question

【題目】如圖，已知二次函數y＝+bx+c的圖象交x軸于點A，B，交y軸于點C（0，﹣2），一次函數y＝x+n的圖象經過A，C兩點，點P為直線AC下方二次函數圖象上的一個動點，直線BP交線段AC于點E，PF⊥AC于點F．

（1）求二次函數的解析式；

（2）求的最大值及此時點P的坐標；

（3）連接CP，是否存在點P，使得Rt△CPF中的一個銳角恰好等于2∠BAC？若存在，請直接寫出點P的坐標；否則，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）m＝2時，有最大值為，此時P點坐標為（2，﹣3）；（3）P點坐標是（2，﹣3）或

【解析】

（1）求出A點坐標，根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）過點B作BM∥y軸交AC于點M，過點P作PN∥y軸交AC于點N，可得PN∥BM，則△BME∽△PNE，則，可求出BM＝，設P（），可表示PN長，則可得關于m的二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；

（3）根據勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點D，求得D（，0），得到DA＝DC＝DB＝，過P作x軸的平行線交y軸于R，交AC于G，情況一：如圖，∠PCF＝2∠BAC＝∠DGC+∠CDG，情況二，∠FPC＝2∠BAC，解直角三角形即可得到結論．

解：（1）由C（0，﹣2），可知一次函數解析式為y＝，

當y＝0時，x＝4，即A（4，0），

將A，C點坐標代入函數解析式，得

，

解得：，

拋物線的解析是為y＝；

（2）如圖1，過點B作BM∥y軸交AC于點M，過點P作PN∥y軸交AC于點N，

∴PN∥BM，

∴△BME∽△PNE，

∴，

∵B（﹣1，0），

∴x＝﹣1時，y＝﹣，

∴M（﹣1，﹣，

∴BM＝，

設P（），則N（），

∴，

，

∴當m＝2時，有最大值為，此時P點坐標為（2，﹣3）；

（3）如圖2，

∵A（4，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2），

∴AC＝，BC＝，AB＝5，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點D，

∴D（，0），

∴DA＝DC＝DB＝，

∴∠CDO＝2∠BAC，

∴tan∠CDO＝tan（2∠BAC）＝，

過P作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延長線于G，

情況一：如圖2，

∵∠PCF＝2∠BAC＝∠PGC+∠CPG，

∴∠CPG＝∠BAC，

∴tan∠CPG＝tan∠BAC＝，

即，

設P（a，），

∴PR＝a，RC＝﹣，

∴，

∴a1＝0（舍去），a2＝2，

∴xP＝2，y＝，P（2，﹣3），

情況二，∴∠FPC＝2∠BAC，

∴tan∠FPC＝，

設FC＝4k，

∴PF＝3k，PC＝5k，

∴FG＝6k，

∴CG＝2k，PG＝k，

∴，

∴，

∴，

∴a1＝0（舍去），，

x＝時，y＝﹣，

即P．

綜上所述：P點坐標是（2，﹣3）或