Question

【題目】如圖，正方形ABCD的頂點A在等腰直角三角形DEF的斜邊EF上，EF與BC相交于點G，連接CF．

（1）求證：△DAE≌△DCF；

（2）求證：△ABG∽△CFG；

（3）若正方形ABCD的的邊長為2，G為BC的中點，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3） EF＝．

【解析】

（1）根據正方形的性質有AD=CD，根據等腰直角三角形的性質有DE=DF，已知兩邊嘗試找其夾角對應相等，根據等角的余角相等可得，∠ADE=∠CDF，據此可證;

（2）此題有多種方法可解，可以延長BA交DE與M，結合第（1）問全等三角形的結論用等角做差求得∠BAG=∠FCG，再加上一對對頂角相等即可證明;

（3）根據第（2）問相似三角形的結論，易得，在Rt△CFG中得到了兩直角邊CF與FG的倍數關系，再運用勾股定理即可解出CF與FG的長度，又AE=CF，即可解答.

證明：（1）∵正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，

∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，

∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF，

∴∠ADE＝∠CDF，

在△ADE和△CDF中，

,∠=∠,;

∴△ADE≌△CDF（SAS）；

（2）延長BA到M，交ED于點M，

∵△ADE≌△CDF，

∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM+∠MAD＝∠BCD+∠BCF，

∵∠MAD＝∠BCD＝90°，

∴∠EAM＝∠BCF，

∵∠EAM＝∠BAG，

∴∠BAG＝∠BCF，

∵∠AGB＝∠CGF，

∴△ABG∽△CFG．

（3）∵正方形ABCD的的邊長為2，G為BC的中點，

∴BG＝CG＝1，

AG＝，

∵△ABG∽△CFG，

∴，

CF＝2FG，

∵CF2+FG2＝CG2，

（2FG）2+FG2＝12，

∴GF＝，CF＝，

∵△DAE≌△DCF，

∴AE＝CF，

∴EF＝EA+AG+GF＝CF+AG+GF＝++＝．