Question

3．觀察圖形：

解決問題
已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（0，4），B（-2，0），C（4，0），點(diǎn)M在y軸負(fù)半軸，且∠OMB+∠OAB=∠ACB，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 借助網(wǎng)格中的圖形的關(guān)系，構(gòu)造出△COD≌△AOB得出∠OAB=∠DCO，再利用等角的同名三角函數(shù)值相等求出tan∠OMB=$\frac{1}{3}$即可求出OM即可得出結(jié)論．

解答 解：如圖，在y軸正半軸取一點(diǎn)D，使得OD=OB，
∵A（0，4），B（-2，0），C（4，0），
∴OA=OC=4，OB=OD=2，
∴∠OAC=∠ACO=45°，
AC=$\sqrt{A{O^2}+O{C^2}}=4\sqrt{2}$．
在△COD和△AOB中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠COD=∠AOB}\\{OC=OA}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△AOB，
∴∠OAB=∠DCO．
∵∠OMB+∠OAB=∠ACB，
∠ACD+∠DCO=∠ACB，
∴∠OMB=∠ACD．
過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，
在Rt△ADH，∵sin$∠DAH=\frac{DH}{AD}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴DH=$\sqrt{2}$，AH=$\sqrt{2}$，CH=$3\sqrt{2}$．
在Rt△CDH中，∵tan$∠DCH=\frac{DH}{CH}=\frac{{\sqrt{2}}}{{3\sqrt{2}}}=\frac{1}{3}$
∴tan∠OMB=$\frac{1}{3}$．
在Rt△BOM中，∠BOM=90°，
∵tan∠OMB=$\frac{OB}{OM}=\frac{1}{3}$，
∴OM=6，
∴點(diǎn)M（0，-6）．

點(diǎn)評 此題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判斷，銳角三角函數(shù)，從已知圖形中找到角的轉(zhuǎn)化特點(diǎn)，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵，