Question

如圖，正方形ABCD的邊CD與正方形CGEF的邊CE重合，O是EG的中點，∠EGC的評分項GH過點D，交BE于H，連接OH、FH、EG與FH交于M，對于下面四個結論：

①GH⊥BE；②HOBG；③點H不在正方形CGFE的外接圓上；④△GBE∽△GMF．

其中正確的結論有（　　）

A．

1個

B．

2個

C．

3個

D．

4個

Answer 1

C

解：（1）如圖，∵四邊形ABCD和四邊形CGFE是正方形，

∴BC=CD，CE=CG，∠BCE=∠DCG，

在△BCE和△DCG中，

∴△BCE≌△DCG（SAS），

∴∠BEC=∠BGH，

∵∠BGH+∠CDG=90°，∠CDG=∠HDE，

∴∠BEC+∠HDE=90°，

∴GH⊥BE．

故①正確，

（2）∵GH是∠EGC的平分線，

∴∠BGH=∠EGH，

在△BGH和△EGH中

∴△BGH≌△EGH（ASA），

∴BH=EH，

∵O是EG的中點，

∴==，

∴HO=BG，

故②正確．

（3）由（1）得△EHG是直角三角形，

∵O為FG的中點，

∴OH=OG=OE，

∴點H在正方形CGFE的外接圓上，

故③錯誤，

（4）如圖2，連接CF，

由（3）可得點H在正方形CGFE的外接圓上，

∴∠HFC=∠CGH，

∵∠HFC+∠FMG=90°，∠CGH+∠GBE=90°，

∴∠FMG=∠GBE，

又∵∠EGB=∠FGM=45°，

∴△GBE∽△GMF．