Question

8．在平面直角坐標系中，有很多點的橫坐標和縱坐標相等，我們把這樣的點定義為“夢之點”，比如：（-1，-1）、$（{\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$、（0，0）、$（{\sqrt{3}，\sqrt{3}}）…$根據上述信息，完成下列問題：
（1）請直接寫出反比例函數$y=\frac{9}{x}$上的所有“夢之點”的坐標為（3，3）和（-3，-3）；
（2）若一次函數y=mx-m+1（m≠0）的圖象上只存在一個“夢之點”，請求出“夢之點”的坐標；
（3）若二次函數y=x²+ax-a（a是常數）的圖象上存在兩個不同的“夢之點”P（p，p）、Q（-p，-p），請求出a的值．

Answer 1

分析 （1）根據夢之點的橫坐標與縱坐標相同，可得關于a的方程，根據解方程，可得答案
（2）根據夢之點的橫坐標與縱坐標相同，可得關于b的方程，根據解方程，可得答案．
（3）先將P（p，p）、Q（-p，-p）代入y=x²+ax-a，得到ax₁²-（a+1）x₁+1=0，ax₂²-（a+1）x₂+1=0p=ap²+ap-a，-p=ap²-pa-a，根據方程的解的定義可知p，-p是一元二次方程ax²+（a-1）x-a=0的兩個不等實根，由根與系數的關系可得p+（-p）=-$\frac{a-1}{a}$=0，即可得出a的值．

解答 解：（1）設反比例函數$y=\frac{9}{x}$上的“夢之點”的坐標為（a，a），則
k=a²=9，
解得a=±3，
故反比例函數$y=\frac{9}{x}$上的所有“夢之點”的坐標為（3，3）和（-3，-3），
故答案為（3，3）和（-3，-3）；
（2）設“夢之點”是（b，b），
把（b，b）代入y=kx-k+1（k≠1），得b=kb-k+1．
化簡，得b-kb=1-k．
解得b=1，
故一次函數y=mx-m+1（m≠0）的圖象上只存在一個“夢之點”，即“夢之點”是（1，1），
故函數y=kx-k+1（k≠1）的圖象上有“夢之點”是（1，1）．
（3）∵二次函數y=x²+ax-a（a是常數）的圖象上存在兩個不同的“夢之點”P（p，p）、Q（-p，-p），
∴p=ap²+ap-a，-p=ap²-pa-a，
∴ap²+（a-1）p-a=0，ap²-（a-1）p-a=0，
∴p，-p是一元二次方程ax²+（a-1）x-a=0的兩個不等實根，
∴p+（-p）=-$\frac{a-1}{a}$=0，
∴a=1．

點評 本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，一次函數函數圖象點的坐標特征，二次函數圖象上點的坐標特征，一元二次方程根與系數的關系，綜合性較強，有一定難度．