Question

1．如圖，在△ABC中，AD⊥BC垂足為點(diǎn)D，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC，垂足為點(diǎn)E．則以下4個(gè)結(jié)論：①AB=AC；②∠EBC=$\frac{1}{2}∠BAC$；③AE=CE；④∠EBC=$\frac{1}{2}∠ABC$中正確的有（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)求出AB=AC，進(jìn)一步求得∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC；根據(jù)等角的余角相等即可求出∠EBC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC；根據(jù)勾股定理即可判斷③，根據(jù)∠BAC≠∠ABC，∠EBC=$\frac{1}{2}$∠BAC，即可判斷④．

解答 解：∵AD⊥BC垂足為點(diǎn)D，AD是BC邊上的中線，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，∴①正確；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠EBC+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∴②正確；
∵AE²=AB²-BE²，CE²=BC²-BE²，AB≠BC，
∴AE≠CE，∴③錯(cuò)誤；
∵∠BAC≠∠ABC，∠EBC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠EBC≠$\frac{1}{2}$∠ABC，∴④錯(cuò)誤；
∴①②都正確；
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，等角的余角的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練地運(yùn)用定理進(jìn)行推理，題目比較典型，難度不大．