Question

20．【問題】
在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點E在直線BC上（B，C除外），分別經(jīng)過點E和點B做AE和AB的垂線，兩條垂線交于點F，研究AE和EF的數(shù)量關(guān)系．
【探究發(fā)現(xiàn)】
某數(shù)學(xué)興趣小組在探究AE，EF的關(guān)系時，運用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)點E是BC的中點時，只需要取AC邊的中點G（如圖1），通過推理證明就可以得到AE和EF的數(shù)量關(guān)系，請你按照這種思路直接寫出AE和EF的數(shù)量關(guān)系；

【數(shù)學(xué)思考】
那么當(dāng)點E是直線BC上（B，C除外）（其它條件不變），上面得到的結(jié)論是否仍然成立呢？請你從“點E在線段BC上”；“點E在線段BC的延長線”；“點E在線段BC的反向延長線上”三種情況中，任選一種情況，在圖2中畫出圖形，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）【探究發(fā)現(xiàn)】取AC邊的中點G，連接EG，根據(jù)ASA判定△EAG≌△FEB，即可得出AE和EF的數(shù)量關(guān)系；
（2）【數(shù)學(xué)思考】分三種情況討論：：①若點E在線段BC上，在AC上截取CG=CE，連接GE．②若點E在線段BC的反向延長線上，在AC反向延長線上截取CG=CE，連接GE．③若點E在線段BC的延長線，在AC延長線上截取CG=CE，連接GE．分別根據(jù)ASA判定△EAG≌△FEB，即可得出AE和EF的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：【探究發(fā)現(xiàn)】AE和EF的數(shù)量關(guān)系為：AE=EF．
理由：如圖1，取AC邊的中點G，連接EG，

∵△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，AG=BE，△CEG是等腰直角三角形，
∴∠CGE=45°，∠EGA=135°，
∵AE⊥EF，AB⊥BF，
∴∠EBF=135°，∠EAG=∠FEB，
在△EAG和△FEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAG=∠FEB}\\{AG=BE}\\{∠EGA=∠EBF}\end{array}\right.$，
∴△EAG≌△FEB（ASA），
∴AE=EF；

【數(shù)學(xué)思考】AE=EF仍然成立．
證明：①如圖2，若點E在線段BC上，在AC上截取CG=CE，連接GE．

∵∠ACB=90°，
∴∠CGE=∠CEG=45°，
∵AE⊥EF，AB⊥BF，
∴∠AEF=∠ABF=∠ACB=90°，
∴∠FEB+∠AEF=∠AEB=∠EAC+∠ACB，
∴∠FEB=∠EAC，
∵CA=CB，
∴AG=BE，∠CBA=∠CAB=45°，
∴∠AGE=∠EBF=135°，
在△EAG和△FEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAG=∠FEB}\\{AG=BE}\\{∠EGA=∠EBF}\end{array}\right.$，
∴△EAG≌△FEB（ASA），
∴AE=EF；
②如圖3，若點E在線段BC的反向延長線上，在AC反向延長線上截取CG=CE，連接GE．

∵∠ACB=90°，
∴∠CGE=∠CEG=45°，
∵AE⊥EF，AB⊥BF，
∴∠AEF=∠ABF=∠ACB=90°，
∵∠FEB=∠AEF+∠AEC，∠EAG=∠C+∠AEC，
∴∠FEB=∠EAG，
∵CA=CB，
∴AG=BE，∠CBA=∠CAB=45°，
∴∠AGE=∠EBF=45°，
在△EAG和△FEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAG=∠FEB}\\{AG=BE}\\{∠EGA=∠EBF}\end{array}\right.$，
∴△EAG≌△FEB（ASA），
∴AE=EF；
③如圖4，若點E在線段BC的延長線，在AC延長線上截取CG=CE，連接GE．

∵∠ACB=90°，
∴∠CGE=45°，∠ABC=45°，
∵AE⊥EF，AB⊥BF，
∴∠AEF=∠ABF=90°，
∴∠FEB+∠AEB=90°=∠EAG+∠AEB，∠EBF=45°=∠G，
∴∠FEB=∠EAG，
∵CA=CB，
∴AG=BE，
在△EAG和△FEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAG=∠FEB}\\{AG=BE}\\{∠EGA=∠EBF}\end{array}\right.$，
∴△EAG≌△FEB（ASA），
∴AE=EF．

點評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，運用全等三角形的對應(yīng)邊相等得出結(jié)論．解題時注意靈活運用等腰直角三角形的兩個銳角都是45°．