Question

10．閱讀下列文字，解答下列問題：
某一糧店在兩個不同時段的糧價不同，假設x，y分別表示兩個時段糧食的單價（單位：元/千克）．
（1）孔明分別在兩個時段各購買糧食100千克，若用Q₁表示孔明兩次購糧的平均單價，試用含x，y的代數式表示Q₁．
（2）張飛分別在兩個時段各花100元購買糧食，若用Q₂表示張飛兩次購糧的平均單價，試用含x，y的代數式表示Q₂．
（3）一般地，“要比較a與b的大小，可先求出a與b的差，再看這個差是正數、負數還是零．”由此可見，要判斷兩個代數式值的大小，只要考慮它們的差就可以了．現規定：誰兩次購糧的平均單價低，誰的購糧方式就更合算．請你判斷孔明、張飛兩人的購糧方式哪一個更合算些？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據平均單價=$\frac{兩次購買糧食的總金額}{兩次購買糧食的重量和}$，代入可得結論；
（2）先計算張飛兩次購買的糧食重量，再代入平均單價=$\frac{兩次購買糧食的總金額}{兩次購買糧食的重量和}$，計算即可；
（3）利用差比較大小，小的合算．

解答 解：（1）孔明第一次購買糧食付款100x元，第二次購買糧食付款100y元，兩次共付款（100x+100y）元．

∵平均單價=$\frac{兩次購買糧食的總金額}{兩次購買糧食的重量和}$，

∴Q₁=$\frac{100x+100y}{100+100}$=$\frac{x+y}{2}$；

（2）張飛第一次購買糧食$\frac{100}{x}$千克，第二次購買糧食$\frac{100}{y}$千克，故兩次共購買糧食$（\frac{100}{x}+\frac{100}{y}）$千克，
∵平均單價=$\frac{兩次購買糧食的總金額}{兩次購買糧食的重量和}$，

∴Q₂=$\frac{100+100}{\frac{100}{X}+\frac{100}{Y}}$=$\frac{2xy}{x+y}$；
（3）要判斷誰更合算，就是判斷Q₁、Q₂的大小，小的更合算些，
∵Q₁-Q₂=$\frac{x+y}{2}$-$\frac{2xy}{x+y}$=$\frac{（x-y）^{2}}{2（x+y）}$，且x≠y，
∴（x-y）²＞0而2（x+y）＞0，
∴Q₁-Q₂＞0，
故Q₁＞Q₂，
∴張飛的購糧方式更合算．

點評 本題考查了分式的混合運用和實際應用問題，明確平均單價=$\frac{兩次購買糧食的總金額}{兩次購買糧食的重量和}$是本題的關鍵，同時要注意分式大小的比較，方法較多，本題利用了作差比較大小，另外還可以作商、平方法等比較大小．