Question

16．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，點D是直角邊AC上一點，且滿足cos∠ABD=$\frac{4}{5}$，∠A=∠CBD，求線段BD的長度．

Answer 1

分析 過D作DF⊥AB于F，過A作AE⊥BD交BD的延長線于E，根據角平分線的性質得到DE=DF，根據全等三角形的性質得到AF=AE，根據三角函數的定義得到BE=AB•cos∠ABD=8，由勾股定理得到AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=6，求得BF=4，根據勾股定理列方程即可得到結論．

解答 解：過D作DF⊥AB于F，過A作AE⊥BD交BD的延長線于E，
∴∠E=∠C=90°，
∵∠ADE=∠BDC，
∴∠EAD=∠CBD，
∵∠A=∠CBD，
∴∠EAD=∠FAD，
∴DE=DF，
在Rt△AED與Rt△AFD中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AF=AE，
∵cos∠ABD=$\frac{4}{5}$，AB=10，
∴BE=AB•cos∠ABD=8，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=6，
∴BF=4，
∵BD²=DF²+BF²，
∴BD²=（8-BD）²+4²，
∴BD=5．

點評 本題考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．