Question

8．如圖．分別以△ABC的邊AC、BA向外作正方形ACDE和ABGF，M為BC中點，MA的延長線交EF于H．求證：
（1）AH⊥EF；
（2）EF=2AM．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，則△BPM∽△BAC，得$\frac{PM}{AC}=\frac{BP}{AB}=\frac{1}{2}$，再證明△APM∽△FAE，則∠EFA=∠PAM，由∠BAF=90°和平角的定義得：∠FAH+∠PAM=90°，所以∠AHF=90°，則AH⊥EF；
（2）由△APM∽△FAE，列比例式可得結論．

解答 證明：（1）過M作MP∥AC，交AB于P，
∴△BPM∽△BAC，
∴$\frac{PM}{AC}=\frac{BM}{BC}=\frac{BP}{AB}$，
∵M為BC中點，
∴$\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{PM}{AC}=\frac{BP}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴P是AB的中點，
∵正方形ACDE和ABGF，
∴AB=AF，AC=AE，∠FAB=∠CAE=90°，
∴$\frac{AP}{AF}=\frac{PM}{AE}=\frac{1}{2}$，
∵∠FAB+∠BAC+∠CAE+∠FAE=360°，
∴∠FAE+∠BAC=180°，
∵PM∥AC，
∴∠BAC+∠APM=180°，
∴∠FAE=∠APM，
∴△APM∽△FAE，
∴∠EFA=∠PAM，
∵∠BAF=90°，
∴∠FAH+∠PAM=90°，
∴∠AHF=90°，
∴AH⊥EF；
（2）由△APM∽△FAE，
∴$\frac{AM}{EF}=\frac{PM}{AE}=\frac{1}{2}$，
∴EF=2AM．

點評 本題考查了正方形的性質、相似三角形的判定與性質，作輔助線，構造（1）中的相似三角形是解決本題的關鍵；并要求熟練掌握正方形的性質．