Question

6．如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，且tan∠ABC=$\frac{1}{2}$，D是⊙O上的一個動點（C，D兩點位于直徑AB的兩側），連接CD，過點C作CE⊥CD交DB的延長線于點E．若⊙O的半徑是$\sqrt{5}$，則線段CE長度的最大值是4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據圓周角定理的推論由AB為⊙O的直徑得到∠ACB=90°，然后根據圓周角定理得到∠A=∠D，則可證得△ACB∽△DCE，利用相似比得CE=2DC，DC為直徑時，DC最長，此時CE最長，然后把DC的長代入計算即可．

解答 解：∵AB為⊙O的直徑，⊙O的半徑是$\sqrt{5}$，
∴AB=2$\sqrt{5}$，∠ACB=90°，
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$，
∴$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∵CD⊥CE，
∴∠DCE=90°，
∴∠ACB=∠DCE
∵∠A=∠D，
∴△ACB∽△DCE，
∴$\frac{AC}{DC}$=$\frac{BC}{CE}$，
∴CE=$\frac{BC}{AC}$•DC=2DC，
當DC最大時，CE最大，即DC為⊙O的直徑時，CE最大，此時CE=2×2$\sqrt{5}$=4$\sqrt{5}$．
故答案為：4$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了三角形相似的判定與性質．解題的關鍵是：判斷△ACB∽△DCE．