Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于點E．
（1）求證：BE=EC．
（2）填空：①若∠B=30°，AC=2$\sqrt{3}$，則DE=3；
②當∠B=45°時，以O，D，E，C為頂點的四邊形是正方形．

Answer 1

分析 （1）證出EC為⊙O的切線；由切線長定理得出EC=ED，再求得EB=ED，即可得出結論；
（2）①由含30°角的直角三角形的性質得出AB，由勾股定理求出BC，再由直角三角形斜邊上的中線性質即可得出DE；
②由等腰三角形的性質，得到∠ODA=∠A=45°，于是∠DOC=90°然后根據有一組鄰邊相等的矩形是正方形，即可得到結論．

解答 （1）證明：連接DO；如圖所示：
∵∠ACB=90°，AC為直徑，
∴EC為⊙O的切線；
又∵ED也為⊙O的切線，
∴EC=ED，
又∵∠EDO=90°，
∴∠BDE+∠ADO=90°，
∴∠BDE+∠A=90°
又∵∠B+∠A=90°，
∴∠BDE=∠B，
∴BE=ED，
∴BE=EC；
（2）解：①∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2AC=4$\sqrt{3}$，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=6，
∵AC為直徑，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
由（1）得：BE=EC，
∴DE=$\frac{1}{2}$BC=3，
故答案為：3；
②當∠B=45°時，四邊形ODEC是正方形，理由如下：
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=45°，
∴∠AOD=90°，
∴∠DOC=90°，
∵∠ODE=90°，
∴四邊形DECO是矩形，
∵OD=OC，
∴矩形DECO是正方形．
故答案為：45．

點評 本題考查了圓的切線性質、解直角三角形的知識、切線長定理．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．