Question

11．如圖1，點(diǎn)Q為y軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，以點(diǎn)Q為圓心的圓交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于C、D兩點(diǎn)，己知點(diǎn)A（-2，0），D（0，-2$\sqrt{3}$），點(diǎn)P為弧$\widehat{ADB}$上一動點(diǎn)．
（1）判斷△ABD的形狀；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時，求$\frac{|PA+PB|}{PC}$的值；
（3）連PD，∠PCD=30°，求$\frac{|PA-PB|}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：△ABD是等邊三角形，只要證明DA=DB，∠OAD=60°即可．
（2）如圖2中，作CE⊥PB于E，CF⊥PA于F，連接AC、BC、AD、BD．首先證明Rt△CFA≌Rt△CEB，推出AF=BE，Rt△PCF≌△PCE，推出PF=PE，推出PA+PB=（PF-AF）+（PE+BE）=2PE，因?yàn)椤鰽BD是等邊三角形，推出∠APB=∠ADB=60°，推出∠APC=∠CPB=30°，根據(jù)$\frac{|PA+PB|}{PC}$=$\frac{2PE}{PC}$=2cos30°，即可解決問題．
（3）首先證明∠FCA=∠PCD=30°，PC=2CF，根據(jù)$\frac{|PA-PB|}{PC}$=$\frac{2AF}{2FC}$=$\frac{AF}{FC}$=tan30°計(jì)算即可解決問題．

解答 解：（1）結(jié)論：△ABD是等邊三角形，
理由：如圖1中，連接AD、BD．

∵QO⊥AB，
∴OA=OB，
∴DA=DB，
∵A（-2，0），D（0，-2$\sqrt{3}$），
∴OA=2，OD=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠OAD=$\frac{OD}{OA}$=$\sqrt{3}$，
∴∠OAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形．

（2）如圖2中，作CE⊥PB于E，CF⊥PA于F，連接AC、BC、AD、BD．

∵QC⊥AB，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，AC=BC，
∴∠CPA=∠CPB，
∴CF=CE，
在Rt△CFA和Rt△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CE}\\{CA=CB}\end{array}\right.$，
∴Rt△CFA≌Rt△CEB，
∴AF=BE，
同理可證Rt△PCF≌△PCE，
∴PF=PE，
∴PA+PB=（PF-AF）+（PE+BE）=2PE，
∵△ABD是等邊三角形，
∴∠APB=∠ADB=60°，
∴∠APC=∠CPB=30°，
∴$\frac{|PA+PB|}{PC}$=$\frac{2PE}{PC}$=2cos30°=$\sqrt{3}$．

（3）由（2）可知：|PA-PB|=（PF-AF）-（PE+BE）|=2AF．
∵∠CPF=∠CDA=30°，∠CAD=∠CFP=90°，
∴∠FCP=∠ACD，
∴∠FCA=∠PCD=30°，
∴PC=2CF，
∴$\frac{|PA-PB|}{PC}$=$\frac{2AF}{2FC}$=$\frac{AF}{FC}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查圓綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．