Question

1．如圖，反比例函數y=$\frac{{k}_{1}}{x}$與一次函數y=k₂x+b圖象的交點為A（m，1），B（-2，n），OA與x軸正方向的夾角為α，且tanα=$\frac{1}{4}$．
（1）求反比例函數及一次函數的表達式； 
（2）設直線AB與x軸交于點C，且AC與x軸正方向的夾角為β，求tanβ的值．

Answer 1

分析 （1）過點A作AE⊥x軸于點E，根據tanα=$\frac{1}{4}$可得出m的值，進而得出反比例函數的解析式，根據B（-2，n）在反比例函數y=$\frac{4}{x}$的圖象上得出B點坐標，再把A、B兩點的坐標代入直線y=k₂x+b即可得出其解析式；
（2）先求出C點坐標，再由A點坐標可得出AE的長，根據銳角三角函數的定義即可得出結論．

解答 解：（1）過點A作AE⊥x軸于點E，
∵tan∠AOE=tanα=$\frac{1}{4}$，
∴OE=4AE．
∵A（m，1），
∴AE=1，
∴OE=4，
∴A（4，1）．
∵點A在反比例函數y=$\frac{{k}_{1}}{x}$的圖象上，
∴k₁=4，
∴反比例函數的解析式為y=$\frac{4}{x}$．
∵B（-2，n）在反比例函數y=$\frac{4}{x}$的圖象上，
∴n=2，
∴B（-2，-2）．
將A、B兩點的坐標代入直線y=k₂x+b得，
$\left\{\begin{array}{l}4{k}_{2}+b=1\\-2{k}_{2}+b=-2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k}_{2}=\frac{1}{2}\\ b=-1\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-1．

（2）∵直線AB的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-1，令y=0，則x=2，
∴C（2，0）．
∵A（4，1），
∴CE=2，AE=1，
∴tanβ=$\frac{AE}{CE}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查的是反比例函數與一次函數的交點問題，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形，利用銳角三角函數的定義求解是解答此題的關鍵．