Question

10．把邊長(zhǎng)為1的正方形紙片OABC放在直線m上，OA邊在直線m上，然后將正方形紙片繞著頂點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)，點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)O₁處（即點(diǎn)B處），點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)C₁處，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到了點(diǎn)B₁處，又將正方形紙片AO₁C₁B₁繞B₁點(diǎn)，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°…，按上述方法經(jīng)過61次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)O經(jīng)過的總路程為$\frac{15\sqrt{2}+31}{2}$π．

Answer 1

分析 第一次以A為圓心OA為半徑的弧長(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)了90°，第二次以B₁為圓心，正方形的對(duì)角線為半徑，旋轉(zhuǎn)角為90°，第三次以B₁為圓心，OA長(zhǎng)為半徑，旋轉(zhuǎn)90°，第四次以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心，此時(shí)O點(diǎn)沒有運(yùn)動(dòng)，四次后O點(diǎn)又回到初始狀態(tài)的相對(duì)位置，四次一循環(huán)，再利用弧長(zhǎng)的計(jì)算公式分別計(jì)算即可．

解答 解：由題意可知每旋轉(zhuǎn)四次O點(diǎn)經(jīng)過的路程為：$\frac{1}{4}$×2π+$\frac{1}{4}$×2$\sqrt{2}$π+$\frac{1}{4}$×2π=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π，
∵經(jīng)過61次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過的路程是4次旋轉(zhuǎn)路程的15倍加上第1次路線長(zhǎng)，
∴經(jīng)過61次旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)O經(jīng)過的總路程=（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）π×15+$\frac{1}{2}$π=$\frac{15\sqrt{2}+31}{2}$π．
故答案為$\frac{15\sqrt{2}+31}{2}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及弧長(zhǎng)的計(jì)算，讀懂題意，確定出前四次O點(diǎn)經(jīng)過的路線是解題的關(guān)鍵，注意規(guī)律的尋找．