Question

如圖1，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長線上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一個動點(diǎn)，連接OP，CP．

（1）求△OPC的最大面積；

（2）求∠OCP的最大度數(shù)；

（3）如圖2，延長PO交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，當(dāng)CP=DB時，求證：CP是⊙O的切線．

Answer 1

（1）解：∵AB=4，

∴OB=2，OC=OB+BC=4．

在△OPC中，設(shè)OC邊上的高為h，

∵S_△OPC=OC•h=2h，

∴當(dāng)h最大時，S_△OPC取得最大值．

觀察圖形，當(dāng)OP⊥OC時，h最大，如答圖1所示：

此時h=半徑=2，S_△OPC=2×2=4．

∴△OPC的最大面積為4．

（2）解：當(dāng)PC與⊙O相切時，∠OCP最大．如答圖2所示：

∵tan∠OCP===，

∴∠OCP=30°

∴∠OCP的最大度數(shù)為30°．

（3）證明：如答圖3，連接AP，BP．

∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD，

∵=，

∴=，

∴AP=BD，

∵CP=DB，

∴AP=CP，

∴∠A=∠C

∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD∠C，

在△ODB與△BPC中

，

∴△ODB≌△BPC（SAS），

∴∠D=∠BPC，

∵PD是直徑，

∴∠DBP=90°，

∴∠D+∠BPD=90°，

∴∠BPC+∠BPD=90°，

∴DP⊥PC，

∵DP經(jīng)過圓心，

∴PC是⊙O的切線．