Question

如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，點D在邊AC上且BD平分∠ABC，設CD=x．

（1）求證：△ABC∽△BCD；

（2）求x的值；

（3）求cos36°﹣cos72°的值．

Answer 1

解：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=36°，

∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，

∴△ABC∽△BCD；

（2）∵∠A=∠ABD=36°，

∴AD=BD，

∵BD=BC，

∴AD=BD=CD=1，

設CD=x，則有AB=AC=x+1，

∵△ABC∽△BCD，

∴=，即=，

整理得：x²+x﹣1=0，

解得：x₁=，x₂=（負值，舍去），

則x=；

（3）過B作BE⊥AC，交AC于點E，

∵BD=CD，

∴E為CD中點，即DE=CE=，

在Rt△ABE中，cosA=cos36°===，

在Rt△BCE中，cosC=cos72°===，

則cos36°﹣cos72°=﹣=．