Question

如圖所示，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=75°，AD，CF分別是BC、AB邊上的高且相交于點P，∠ABC的平分線BE分別交AD、CF于M、N．
（1）試找出圖中所有的等腰三角形，請直接寫出來；
（2）若MD=2cm，求DC的長．

Answer 1

（1）△ADC，△AMB，△BNC，△MNP，△ABE．理由如下：
∵∠ABC=60°，∠BAC=75°，AD，CF分別是BC，AB邊上的高
∴∠DAC=45°，
又∵∠ACB=45°
∴△ADC為等腰三角形．
∵∠ABC的平分線BE分別交AD，CF于M，N
∴∠ABM=30°，
又∵∠BAM=30°
∴△AMB為等腰三角形．
由題意可知∵∠NBC=∠NCB=30°
∴△BNC為等腰三角形．
∠PMN=∠MNP=60°
∴△MNP為等腰三角形．
∵∠ABE=30°，∠BAC=75°
∴∠BEA=75°
∴△ABE為等腰三角形．

（2）在直角三角形BDM中，
∵MD=2cm，∠MBD=30°
∴BM=4cm
在等腰△AMB中，BM=AM
則AD=AM+MD=6cm，
在等腰直角三角形ADC中
AD=DC
則DC=6cm．