Question

（12分）如圖1，在面積為3的正方形ABCD中，E、F分別是BC和CD邊上的兩點，AE⊥BF于點G，且BE=1，∠BAE=30°．

（1）求證：△ABE≌△BCF；

（2）求出△ABE和△BCF重疊部分（即△BEG）的面積；

（3）現將△ABE繞點A逆時針方向旋轉到△AB＇E＇（如圖2），使點E落在CD邊上的點E＇處，問△ABE在旋轉前后與△BCF重疊部分的面積是否發生了變化？請說明理由．

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）；（3）沒有變化，理由見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由四邊形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可證得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF；

（2）由正方形ABCD的面積等于3，即可求得此正方形的邊長，由在△BGE與△ABE中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可證得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案；

（3）易證得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得AB′與AE在同一直線上，即BF與AB′的交點是G，然后設BF與AE′的交點為H，可證得△BAG≌△HAG，繼而證得結論．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，∴∠ABF+∠CBF=90°，

∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF，

在△ABE和△BCF中，∵∠ABE=∠BCF，AB=BC，∠BAE=∠CBF，∴△ABE≌△BCF．

（2）【解析】
∵正方形面積為3，∴AB=，

在△BGE與△ABE中，∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，∴△BGE∽△ABE，

∴，

又∵BE=1，∴，∴S△BGE=×S△ABE=；

（3）【解析】
沒有變化．

理由：∵AB=，∠BAE=30°，∴BE=1，

∵AB′=AB=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′公共，

∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，

∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°，

∴AB′與AE在同一直線上，即BF與AB′的交點是G，

設BF與AE′的交點為H，

則∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG公共，

∴△BAG≌△HAG，

∴S四邊形GHE′B′=S△ABE′﹣S△AGH=S△ABE﹣S△ABG=S△BGE．

∴△ABE在旋轉前后與△BCF重疊部分的面積沒有變化．

考點：1．相似三角形的判定與性質；2．全等三角形的判定與性質；3．正方形的性質．