Question

6．若c為正整數，且a+b=c，b+c=d，d+a=b，則（a+b）（b+c）（c+d）（d+a）的最小值為24．

Answer 1

分析 將a+b=c，b+c=d，d+a=b利用等式的基本性質變形成a=-c、b=2c、d=3c，從而得（a+b）（b+c）（c+d）（d+a）=24c⁴，根據c為正整數即c最小為1可得答案．

解答 解：a+b=c ①，b+c=d ②，d+a=b ③，
由③得：b-a=d ④，
由②-④得：c+a=0，a=-c ⑤，
把⑤代入①得：-c+b=c，b=2c ⑥，
把⑥代入②得：2c+c=d，d=3c，
∵c為正整數，
∴c最小為1．
∴（a+b）（b+c）（c+d）（d+a）
=（-c+2c）（2c+c）（c+3c）（3c-c）
=（-1+2）×（2+1）×（1+3）×（3-1）
=24，
即（a+b）（b+c）（c+d）（d+a）的最小值為24，
故答案為：24．

點評 本題主要考查有理數的運算、等式的基本性質，根據已知等式變形成a、b、d全部用同一個字母c來表示是解題的關鍵．