Question

11．如圖，已知△ABC的面積S=1，點P是邊BC上異于端點的一個動點，過點P作PD∥AC，PE∥AB，分別交AB、AC為D、E，設$\frac{BP}{BC}$=x（0＜x＜1），△BDP的面積為S₁，△CEP的面積為S₂，四邊形ADPE的面積為S₃．
（1）試用x表示S₂，并求當S₃=$\frac{4}{9}$時x的值；
（2）求證：S₁、S₂、S₃中至少有一個大于等于$\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形的面積比等于相似比的平方得出三角形的面積，再代入面積求解未知數即可得出．
（2）用反證的方法，找出不等式組，解得不等式組無解，得出假設不成立，從而證得結論．

解答 （1）解：∵PD∥AC，PE∥AB，
∴△BDP∽△BAC，△CEP∽△CAB，
又∵$\frac{BP}{BC}$=x，線段BC=BP+PC且△ABC的面積S=1，
∴S₁=x²（0＜x＜1），S₂=（1-x）²（0＜x＜1），
∵S=S₁+S₂+S₃，
∴S₃=S-S₁-S₂=1-x²-（1-x）²=2x-2x²（0＜x＜1），
將S₃=$\frac{4}{9}$代入上式中得：2x-2x²=$\frac{4}{9}$，
解得x=$\frac{1}{3}$或x=$\frac{2}{3}$，
經檢驗x=$\frac{1}{3}$，x=$\frac{2}{3}$都是方程的解．
答：S₂=（1-x）²（0＜x＜1），當S₃=$\frac{4}{9}$時x的值為$\frac{1}{3}$或$\frac{2}{3}$．
（2）證明：假設S₁、S₂、S₃都小于$\frac{4}{9}$，那么則有
$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}}&{＜\frac{4}{9}}\\{{S}_{2}}&{＜\frac{4}{9}}\\{{S}_{3}}&{＜\frac{4}{9}}\end{array}\right.$  即$\left\{\begin{array}{l}{x^2＜}&{\frac{4}{9}}\\{（1-x）^2＜}&{\frac{4}{9}}\\{2x-2x^2＜}&{\frac{4}{9}}\\{0＜x＜1}&{\;}\end{array}\right.$
解得x不存在，
故假設不成立，S₁、S₂、S₃中至少有一個大于等于$\frac{4}{9}$．
證畢．

點評 （1）本問考查的是相似三角形的面積比是相似比的平方，解題的關鍵是找對關系式．
（2）本問考查的是解不等式組，解題的關鍵在于利用反證法，找對不等式即可解決．