Question

16．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是邊AC上的一個動點，以點O為圓心作半圓，與邊AB相切于點D，交線段OC于點E，連接ED，過點E作ED的高，交射線AB于點P，交射線CB于點F．
（1）求證：△ADE∽△AEP；
（2）設OA=x，AP=y，求y關于x的函數解析式，并寫出它的自變量的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）證△ADE∽△AEP，需找出兩組對應相等的角．連接OD，根據切線的性質，可得出∠ODA=90°，而∠ODE=∠OED，因此∠ADE和∠AEP都是90°加上一個等角，因此∠AEP=∠ADE；再加上兩三角形的公共角∠A，即可證得兩三角形相似；
（2）由△AOD∽△ACB，可得OD=$\frac{3}{5}$OA，AD=$\frac{4}{5}$OA；又由△ADE∽△AEP，可得y=$\frac{16}{5}$x；

解答 （1）證明：連接OD，
∵AP切半圓于D，∠ODA=∠PED=90°，
又∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠ADE=∠ODE+∠ODA，
∠AEP=∠OED+∠PED，
∴∠ADE=∠AEP，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△AEP；

（2）解：∵△AOD∽△ACB，
∴$\frac{OA}{CA}$=$\frac{OD}{CB}$=$\frac{AD}{AB}$，
∵AB=4，BC=3，∠ABC=90°，
∴根據勾股定理，得AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴OD=$\frac{3}{5}$OA，AD=$\frac{4}{5}$OA，
∵△ADE∽△AEP，
∴$\frac{AE}{AP}$=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{DE}{EP}$，
∵AP=y，OA=x，AE=OE+OA=OD+OA=$\frac{8}{5}$OA，
∴$\frac{AE}{AP}$=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{\frac{4}{5}OA}{\frac{8}{5}OA}$=$\frac{1}{2}$，
則y=$\frac{16}{5}$x（0＜x≤$\frac{25}{8}$）；

點評 本題考查了相似三角形的性質，圓的切線性質、勾股定理、一次函數的應用，以及分類討論的數學思想，其中由相似三角形的性質得出比例式是解題關鍵．