Question

8．在邊長為3的正方形ABCD中，點E、F在正方形不同的邊上，且與點A構成等腰三角形．若等腰三角形AEF的底邊長為2$\sqrt{2}$，則等腰三角形AEF的腰長是2或$\sqrt{10}$或$\sqrt{11}$．

Answer 1

分析 分三種情討論即可①如圖1中，當AE=AF，EF=2$\sqrt{2}$時．②如圖2中，當AE=AF，EF=2$\sqrt{2}$時．③如圖3中，當FA=EF，AE=2$\sqrt{2}$時．

解答 解：①如圖1中，當AE=AF，EF=2$\sqrt{2}$時，易知AE=AF=2．

②如圖2中，當AE=AF，EF=2$\sqrt{2}$時，CE=CF=2，BE=DF=1，AE=AF=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．

③如圖3中，當FA=EF，AE=2$\sqrt{2}$時，作FG⊥AE于G，則四邊形AGFD是矩形，AD=FG=3，

∵FA=FE，FG⊥AE，
∴AG=$\sqrt{2}$，
在Rt△AFG中，AF=EF=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{11}$，
綜上所述，腰三角形AEF的腰長是2或$\sqrt{10}$或$\sqrt{11}$．
故答案為2或$\sqrt{10}$或$\sqrt{11}$．

點評 本題考查正方形的性質、等腰三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．