Question

20．PA為⊙O的切線，PBC是⊙O的割線，PD=PA，連接CD，BD分別交⊙O于E，F，求證：EF∥PD．

Answer 1

分析 根據切割線定理得到PA²=PB•PC，等量代換得到PD²=PB•PC，推出△PBD∽△PDC，根據相似三角形的性質得到∠PDB=∠C，由圓周角定理得到∠C=∠F，等量代換得到∠F=∠PDB，根據平行線的判定即刻得到結論．

解答 證明：∵PA為⊙O的切線，PBC是⊙O的割線，
∴PA²=PB•PC，
∵PD=PA，
∴PD²=PB•PC，
∴$\frac{PD}{PB}$=$\frac{PC}{PD}$，
∵∠DPC=∠BPD，
∴△PBD∽△PDC，
∴∠PDB=∠C，
∵∠C=∠F，
∴∠F=∠PDB，
∴EF∥PD．

點評 本題考查了切線的性質，切割線定理，相似三角形的判定和性質，平行線的判定，熟記掌握切割線定理是解題的關鍵．