Question

10．如圖，C為半圓弧O的中點，點P為直徑BA延長線上一點，過點P作半圓的切線PD，D為切點，∠DPB的平分線分別交AC，BC于點E，F； 證明：∠PDA=∠CDF．

Answer 1

分析 連接OD，DE，由PD是⊙O的切線，得到OD⊥PD，根據垂徑定理得到OC⊥OP，于是得到∠DAC=∠DPE，∠DPF=∠DBF，推出P，A，E，D，四點共圓，P，B，F，D四點共圓，根據圓周角定理得到∠DEC=∠DPA，∠DFC=∠DPA，等量代換得到∠DEC=∠DFC，推出D，E，F，C四點共圓，根據圓周角定理即刻得到結論．

解答 證明：連接OD，DE，
∵PD是⊙O的切線，
∴OD⊥PD，
∵C為半圓弧O的中點，
∴OC⊥OP，
∴∠DPB+∠DOP=∠DOP+∠DOC，
∴∠DPB=∠DOC=2∠DAC=2∠DBC=2∠DPF，
即∠DAC=∠DPE，∠DPF=∠DBF，
∴P，A，E，D，四點共圓，P，B，F，D四點共圓，
∴∠DEC=∠DPA，∠DFC=∠DPA，
∴∠DEC=∠DFC，
∴D，E，F，C四點共圓，
∴∠CDF=∠CEF=∠PEA=∠PDA．
即：∠PDA=∠CDF．

點評 本題考查了切線的性質，垂徑定理，圓周角定理，四點共圓，正確的作出輔助線是解題的關鍵．