Question

如圖，點E是正方形ABCD的邊BC上一點，將△ABE繞著頂點A逆時針旋轉90°得△ADF，連接EF，P為EF的中點，則下列結論：
①∠AEF=45°②EF=2CE③∠DAP=∠CFE④∠ADP=45°⑤PD∥AF中，正確的個數是（　　）

• A、2個
• B、3個
• C、4個
• D、5個

Answer 1

考點：旋轉的性質,正方形的性質

專題：

分析：①根據旋轉的性質推知△AFE等腰直角三角形；
②在直角△CEF中，根據“30度角所對的直角邊等于斜邊的一半”進行判斷；
③、④點A、P、D、F在以AF為直徑的圓上，所以由圓周角定理進行證明；
⑤利用反證法．利用④的結論推知點P在對角線BD上，所以通過旋轉的角度、正方形的性質來證明線段PD與AF不平行．

解答：解：①∵△ABE繞著頂點A逆時針旋轉90°得到△ADF．
∴△ABE≌△ADF，∠FAE=90°，
∴AE=AF，即△AFE是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°．
故①正確；

②如圖，連接CP．
∵∠ECF=90°，∴當∠CFE=30°時，EF=2EC．
∴EF不一定等于2EC．
故②不正確；

③∵P為EF的中點，AE=AF，
∴∠APF=90°．
∵∠APF=∠ADF=90°，
∴點A、P、D、F在以AF為直徑的圓上，
∴∠DAP=∠DFP，即∠DAP=∠CFE．
故③正確；

④∵△AFE是等腰直角三角形，
∴∠AEF=AFE=45°．
又∵點A、P、D、F在以AF為直徑的圓上，
∴∠ADP=∠AFP，即∠ADP=∠AFE=45°．
故④正確；

⑤如圖，連接AC、BD交于點O．
∵∠ADP=45°，
∴點P在正方形ABCD的對角線BD上．
假設PD∥AF．
∵∠PAE=90°，即FA⊥AE，
∴DP⊥AE．
又∵AC⊥BD，
∴AE與AC重合，這與已知圖形相矛盾，
∴PD與AE不平行．
故⑤錯誤．
綜上所述，正確的說法有①③④．
故選B．

點評：本題考查了旋轉的性質和正方形的性質．正方形的對角線平分對角，且兩條對角線互相垂直．