Question

19．關于x的一元二次方程x²+2mx+2n=0有兩個整數根且乘積為正，關于y的一元二次方程y²+2ny+2m=0同樣也有兩個整數根且乘積為正．給出三個結論：①這兩個方程的根都是負根；②（m-1）²+（n-1）²≥2；③-1≤2m-2n≤1．其中正確結論的個數是（　　）

• A． 0個
• B． 1個
• C． 2個
• D． 3個

Answer 1

分析 設方程x²+2mx+2n=0的兩根為x₁、x₂，方程y²+2ny+2m=0的兩根為y₁、y₂．
①根據方程解的情況可得出x₁•x₂=2n＞0、y₁•y₂=2m＞0，結合根與系數的關系可得出x₁+x₂=-2m、y₁+y₂=-2n，進而得出這兩個方程的根都是負根，①正確；②由方程有兩個實數根結合根的判別式即可得出m²-2n≥0、n²-2m≥0，將（m-1）²+（n-1）²展開代入即可得出②正確；③根據根與系數的關系可得出2m-2n=（y₁+1）（y₂+1）-1、2n-2m=（x₁+1）（x₂+1）-1，結合x₁、x₂、y₁、y₂均為負整數即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．綜上即可得出結論．

解答 解：設方程x²+2mx+2n=0的兩根為x₁、x₂，方程y²+2ny+2m=0的兩根為y₁、y₂．
①∵關于x的一元二次方程x²+2mx+2n=0有兩個整數根且乘積為正，關于y的一元二次方程y²+2ny+2m=0同樣也有兩個整數根且乘積為正，
∴x₁•x₂=2n＞0，y₁•y₂=2m＞0，
∵x₁+x₂=-2m，y₁+y₂=-2n，
∴這兩個方程的根都是負根，①正確；
②∵關于x的一元二次方程x²+2mx+2n=0有兩個整數根且乘積為正，關于y的一元二次方程y²+2ny+2m=0同樣也有兩個整數根且乘積為正，
∴4m²-8n≥0，4n²-8m≥0，
∴m²-2n≥0，n²-2m≥0，
∴（m-1）²+（n-1）²=m²-2n+1+n²-2m+1≥2，②正確；
③∵y₁•y₂=2m，y₁+y₂=-2n，
∴2m-2n=y₁•y₂+y₁+y₂=（y₁+1）（y₂+1）-1，
∵y₁、y₂均為負整數，
∴（y₁+1）（y₂+1）≥0，
∴2m-2n≥-1．
∵x₁•x₂=2n，x₁+x₂=-2m，
∴2n-2m=x₁•x₂+x₁+x₂=（x₁+1）（x₂+1）-1，
∵x₁、x₂均為負整數，
∴（x₁+1）（x₂+1）≥0，
∴2n-2m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
綜上所述：成立的結論有①②③．
故選D．

點評 本題考查了根與系數的關系以及根的判別式，逐一分析3條結論的正誤是解題的關鍵．