Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（m，$\frac{k}{m}$）（k＞0的常數(shù)，且m＞0）．
（1）若k=5，點(diǎn)M在直線y=x-4，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若直線y=-x+b（b＞0）與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)M在直線上有且只有一個(gè)位置，過點(diǎn)A與y軸平行的直線和過點(diǎn)B與x軸平行的直線交于點(diǎn)C，點(diǎn)M在直線AC上的點(diǎn)為點(diǎn)M₁，點(diǎn)M在直線BC上的點(diǎn)為點(diǎn)M₂，當(dāng)S${\;}_{△O{M}_{1}{M}_{2}}$=k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$時(shí)，求線段M₁M₂的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)k=5，點(diǎn)M在直線y=x-4，得到方程$\frac{5}{m}$=m-4，解方程求得m=5，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5，1）；
（2）點(diǎn)M與M₁、M₂的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的關(guān)系的乘積：m×$\frac{k}{m}$=k，M₁與A橫坐標(biāo)相同，所以M₁（b，$\frac{k}{b}$），M₂與B縱坐標(biāo)相同，所以M₂（$\frac{k}{b}$，b），因?yàn)辄c(diǎn)M在直線y=-x+b（b＞0）上有且只有一個(gè)位置，可得$\frac{k}{m}$=-m+b，可得b²=4k，再根據(jù)S${\;}_{△O{M}_{1}{M}_{2}}$=k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$可求線段M₁M₂的長．

解答 解：（1）∵k=5，點(diǎn)M在直線y=x-4，
∴$\frac{5}{m}$=m-4，
∴m=5，m=-1，
∵m＞0，
∴m=5，
∴M（5，1）；

（2）點(diǎn)M與M₁、M₂的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的關(guān)系的乘積：m×$\frac{k}{m}$=k，
M₁與A橫坐標(biāo)相同，所以M₁（b，$\frac{k}{b}$），
M₂與B縱坐標(biāo)相同，所以M₂（$\frac{k}{b}$，b），
因?yàn)辄c(diǎn)M在直線y=-x+b（b＞0）上有且只有一個(gè)位置，所以$\frac{k}{m}$=-m+b，
m²-bm+k=0，
△=b²-4k=0，b²=4k，
因?yàn)镾${\;}_{△O{M}_{1}{M}_{2}}$=k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$，$\frac{1}{2}$（$\frac{k}{b}$+b）（$\frac{k}{b}$-b）=k²+$\frac{5}{4}$k-$\frac{3}{8}$，8k²+25k-3=0，
M₁M₂=2（b-$\frac{k}{b}$）²=2（$\frac{{b}^{2}-k}{b}$）²=$\frac{9k}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了兩條直線相交或平行問題，兩條直線的平行問題，若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．