Question

14．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$與拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c交于A、B兩點，點A在x軸上，點B的橫坐標為-8．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線交x軸于點C，交直線AB于點D，作PE⊥AB于點E．
①已知△PDE的周長為l2，求點P的橫坐標；
②連接PA，以PA為邊作圖示一側的正方形APFG．隨著點P的運動，正方形APFG的大小、位置也隨之改變．當頂點F恰好落在拋物線的對稱軸上時，直接寫出對應的點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用直線解析式求出點A、B的坐標，再利用待定系數法求二次函數解析式解答；
（2）①利用直線解析式和拋物線解析式表示出PD，再利用同角的余角相等求出∠DPE=∠BAO，根據直線k值求出∠BAO的正弦和余弦值，然后表示出PE、DE，再根據三角形的周長公式列式整理即可得解，再根據二次函數的最值問題解答；
②點G在y軸上時，過點P作PH⊥x軸于H，根據正方形的性質可得AP=AG，∠PAG=90°，再求出∠PAH=∠AGO，然后利用“角角邊”證明△APH和△GAO全等，根據全等三角形對應邊相等可得PH=AO=2，然后利用二次函數解析式求解即可；

解答 解：（1）令y=0，則 $\frac{3}{4}$x-$\frac{3}{2}$=0，解得x=2，
x=-8時，y=$\frac{3}{4}$×（-8）-$\frac{3}{2}$=-$\frac{15}{2}$，
∴點A（2，0），B（-8，-$\frac{15}{2}$），
把點A、B代入拋物線得，$\left\{\begin{array}{l}{-1+2b+c=0}\\{-16-8b+c=-\frac{15}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{4}}\\{c=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$
解得，
所以，該拋物線的解析式y=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$；

（2）①∵點P在拋物線上，點D在直線上，
∴PD=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$-（ $\frac{4}{3}$x-$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4，
∵PE⊥AB，
∴∠DPE+∠PDE=90°，
又∵PD⊥x軸，
∴∠BAO+∠PDE=90°，
∴∠DPE=∠BAO，
∵直線解析式k=$\frac{3}{4}$，
∴sin∠BAO=$\frac{3}{5}$，cos∠BAO=$\frac{4}{5}$，
∴PE=PDcos∠DPE=$\frac{4}{5}$PD，
DE=PDsin∠DPE=$\frac{3}{5}$PD，
∴△PDE的周長為l=PD+$\frac{3}{5}$PD+$\frac{4}{5}$PD=$\frac{12}{5}$PD=$\frac{12}{5}$（-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+4）=-$\frac{3}{5}$x²-$\frac{18}{5}$x+$\frac{48}{5}$，
即l=-$\frac{3}{5}$x²-$\frac{18}{5}$x+$\frac{48}{5}$；
∵l=-$\frac{3}{5}$（x²+6x+9）+15，
∴當x=-3時，最大值為15；

②當點G在y軸上時，過點P作PH⊥x軸于H，如圖1中，

∵點A（2，0），
∴AO=2，
∵在正方形APFG中，AP=AG，∠PAG=90°，
∵∠PAH+∠OAG=90°，∠AGO+∠OAG=90°，
∴∠PAH=∠AGO，
在△APH和△GAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAH=∠AGO}\\{∠AHP=∠GOA=90°}\\{AP=AG}\end{array}\right.$，
∴△APH≌△GAO（AAS），
∴PH=AO=2，
∴點P的縱坐標為2，
∴-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{4}$x+$\frac{5}{2}$=2，
整理得，x²+3x-2=0，
解得x=$\frac{-3±\sqrt{17}}{2}$，
∴點P₁（ $\frac{-2+\sqrt{17}}{2}$，2），P₂（ $\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，2）；

點評 此題主要考查了二次函數的綜合應用，全等三角形的判定與性質以及待定系數法求二次函數解析式，銳角三角函數的應用等知識，解題的關鍵是學會構建二次函數，利用二次函數的性質解決實際問題，學會添加常用輔助線構造直角三角形解決問題．屬于中考壓軸題．