Question

5．如圖，正方形ABCD中，AB=3cm，以B為圓心，1cm長(zhǎng)為半徑畫(huà)⊙B，點(diǎn)P在⊙B上移動(dòng)，連接AP，并將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AP′，連接BP′．在點(diǎn)P移動(dòng)的過(guò)程中，BP′長(zhǎng)度的最小值為（3$\sqrt{2}$-1）cm．

Answer 1

分析 通過(guò)畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)路線為以D為圓心，以1為半徑的圓，可知：當(dāng)P′在對(duì)角線BD上時(shí)，BP′最小，先證明△PAB≌△P′AD，則P′D=PB=1，再利用勾股定理求對(duì)角線BD的長(zhǎng)，則得出BP′的長(zhǎng)．

解答 解：如圖，當(dāng)P′在對(duì)角線BD上時(shí)，BP′最小，
連接BP，
由旋轉(zhuǎn)得：AP=AP′，∠PAP′=90°，
∴∠PAB+∠BAP′=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAP′+∠DAP′=90°，
∴∠PAB=∠DAP′，
∴△PAB≌△P′AD，
∴P′D=PB=1，
在Rt△ABD中，∵AB=AD=3，
由勾股定理得：BD=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∴BP′=BD-P′D=3$\sqrt{2}$-1，
即BP′長(zhǎng)度的最小值為（3$\sqrt{2}$-1）cm．
故答案為：（3$\sqrt{2}$-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和最小值問(wèn)題，尋找點(diǎn)P′的運(yùn)動(dòng)軌跡是本題的關(guān)鍵，通過(guò)證明兩三角形全等求出BP′長(zhǎng)度的最小值最小值．