Question

20．已知直線l₁，l₂分別是一次函數y=2x+2和y=-x+5的圖象，兩直線相交于點M，直線l₁交x軸于點A，交y軸于點B，直線l₂交x軸于點C，交y軸于點D．
（1）在同一坐標系下畫出直線l₁、l₂，并求出點M的坐標；
（2）求△MBC面積和BC的長度；
（3）求點M到直線BC的距離；
（4）若點O到直線l₁、l₂的距離分別為h₁和h₂，則h₁+h₂=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）在同一坐標系內畫出函數圖象，并求出點M的坐標即可；
（2）連接BC，由S_△MBC=S_△ACM-S_△ABC即可得出結論；
（3）根據勾股定理求出BC的長，再由三角形的面積公式即可得出結論；
（4）先利用Rt△OAB的面積求出h₁的長，再利用△OCD的面積求出h₂的長即可．

解答 解：（1）如圖，由圖可知M（1，4）；

（2）S_△MBC=S_△AMC-S_△ABC=$\frac{1}{2}$×6×4-$\frac{1}{2}$×6×2=12-6=6．
∵OB=2，OC=5，
∴BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{4+25}$=$\sqrt{29}$；

（3）設點M到直線BC的距離為h，
∵S_△MBC=6，BC=$\sqrt{29}$，
∴$\frac{1}{2}$BCh=6，即$\frac{\sqrt{29}}{2}$h=6，解得h=$\frac{12\sqrt{29}}{29}$；

（4）∵AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴h₁=$\frac{1×2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
∵CD=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∴h₂=$\frac{5×5}{5\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴h₁+h₂=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查的是兩條直線相交或平行問題，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解答此題的關鍵．