Question

16．如圖，已知⊙O是四邊形ABCD的外接圓，AB是⊙O的直徑，BC=CD，過點C作PM⊥AD交AD的延長線于點M，交AB的延長線于點P．
（1）求證：PM是⊙O的切線；
（2）若AB=10，AD=6，求CM的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據弦，弧，圓心角的關系得到∠DAC=∠CAO，推出AD∥OC，根據平行線的性質得到∠M=∠OCP，于是得到結論；
（2）連接BD交OC于E，根據垂徑定理得到OC⊥BD，根據圓周角定理得到BD⊥AM，推出四邊形CMDE是矩形，根據矩形的性質得到CM=DE，根據勾股定理即可得到結論．

解答 解：（1）連接OC，
∵BC=CD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$，
∴∠DAC=∠CAO，
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∴∠M=∠OCP，
∵PM⊥AM，
∴OC⊥PM，
∴PM是⊙O的切線；

（2）連接BD交OC于E，
∵$\widehat{CD}$=$\widehat{BC}$，
∴OC⊥BD，
∵AB是⊙O的直徑，
∴BD⊥AM，
∴四邊形CMDE是矩形，
∴CM=DE，
∵BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=8，
∴CM=DE=$\frac{1}{2}$BD=4．

點評 本題考查了切線的判定，矩形的判定和性質，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．