Question

4．已知一次函數y=$\frac{1-kx}{k+1}$（k是不為0的自然數，且是常數）的圖象與兩坐標軸所圍成的圖形的面積為S_k（即k=1時，得S₁，k=2時，得S₂，┅）．試求S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₆=$\frac{1008}{2017}$．

Answer 1

分析 令x=0，y=0，分別求出圖象與坐標軸的交點，再根據三角形面積公式表示S₁，S₂，S₃，…S₂₀₁₆，根據規律求和．

解答 解：令x=0，得y=$\frac{1}{k+1}$，y=0，得x=$\frac{1}{k}$，
∴S=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{k+1}$×$\frac{1}{k}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{k+1}$），
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₁₆，
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2017}$），
=$\frac{1008}{2017}$．
故答案為：$\frac{1008}{2017}$．

點評 本題考查了一次函數圖象上的點的坐標特征．關鍵是由函數關系式求直線與坐標軸的交點坐標，得出三角形面積的一般關系式，尋找抵消規律．