Question

15．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC為對角線，且∠DCA=∠B，線段AD、BC的長是方程x（x-4）+2（4-x）=0的兩根，且AD＜BC，CD=3，求AB與AC的長．

Answer 1

分析 首先解方程求得AD和BC的長，然后得到△ABC∽△DCA，根據相似三角形對應邊的比相等列式計算即可．

解答 解：∵線段AD、BC的長是方程x（x-4）+2（4-x）=0的兩根，且AD＜BC，
∴AD=2，BC=4，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵∠DCA=∠B，
∴△ABC∽△DCA，
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{AC}$，
即：$\frac{AB}{3}=\frac{AC}{2}=\frac{4}{AC}$，
解得：AB=3$\sqrt{2}$，AC=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質、解一元二次方程及梯形的知識，解題的關鍵是能夠得到相似三角形，并正確的確定對應邊，難度不大．