Question

【題目】如圖，四邊形ABDC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，OD⊥BC于點E．

（1）請你寫出兩個不相同的結論（不添加輔助線）；

（2）連接AD，若BE＝4，AC＝6，求線段AD的長．

Answer 1

【答案】（1）∠ACB＝90°，BE＝CE ；（2）AD＝4．

【解析】

（1）由AB為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角可得出∠ACB＝90°；由OD垂直于BC，利用垂徑定理得到E為BC的中點，即BE＝CE；

（2）由OD垂直于BC，利用垂徑定理得到E為BC的中點，由BE的長求出BC的長，由AB為圓的直徑，利用直徑所對的圓周角為直角可得出∠ACB為直角，在直角三角形ABC中，由BC與AC的長，利用勾股定理求出AB的長，進而求出半徑OB與OD的長，在直角三角形BOE中，由OB與BE的長，利用勾股定理求出OE的長，由OD﹣OE即可求出DE的長，利用勾股定理求出BD即可解決問題．

解：（1）由題意得：∠ACB＝90°；BE＝CE（答案不唯一）；

（2）∵OD⊥BC，BE＝4，

∴BE＝CE＝4，即BC＝2BE＝8，

∵AB為圓O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，

根據勾股定理得：AB＝，

∴OB＝OD＝5，

在Rt△OBE中，OB＝5，BE＝4，

根據勾股定理得：OE＝，

則ED＝OB﹣OE＝5﹣3＝2，BD＝，

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴AD＝．