Question

【題目】如圖，在中，點是邊上的動點（點與點不重合），過動點作交于點

（1）若與相似，則是多少度？

（2）試問：當等于多少時，的面積最大？最大面積是多少？

（3）若以線段為直徑的圓和以線段為直徑的圓相外切，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）60°或30°．（2）PC等于12時，的面積最大，最大面積是．（3）

【解析】

（1）當△ABC與△DAP相似時，應有∠APD=∠B或∠APD=∠C，即∠APD為30°或60°．
（2）設PC=x，由PD∥BA，得∠BAC=∠PDC=90°，∴AC=BCcos60°=12，CD=xcos60°= x，AD=12-x，而PD=xsin60°=x，∴S△APD=PDAD把PD，AD的值代入，得到S△APD=．∴PC等于12時，△APD的面積最大，最大面積是18．
（3）設以BP和AC為直徑的圓心分別為O1、O2，過O2作O2E⊥BC于點E，設⊙O1的半徑為x，則BP=2x，AC=12，∴O2C=6，∴CE=6cos60°=3．∴由勾股定理得，O2E=，O1E=21-x，由于⊙O1和⊙O2外切，則圓心距O1O2=x+6．在Rt△O1O2E中，有O1O22=O2E2+O1E2，即（x+6）2=（21-x）2+（3）2，求解得到x的值，進而求得BP的值．

（1）當△ABC與△DAP相似時，∠APD的度數是60°或30°．

（2）設，∵，，∴，

又∵，∴，，

∴，而，

∴．

∴PC等于12時，的面積最大，最大面積是．

（3）設以和為直徑的圓心分別為、，過作于點，

設的半徑為，則．顯然，，∴，∴，

∴，，

又∵和外切，∴．

在中，有，

∴，解得：， ∴