Question

9．如圖，在3×1的方格紙中，試求∠ACB+∠AFB+∠AEB的度數，并說明理由．

Answer 1

分析 利用兩組對應邊成比例，且它們的夾角相等，則兩三角形相似可判定△EAF∽△ECA，則∠EAF=∠ECA，再利用三角形外角性質得∠AEB=∠EAF+∠AFB，于是得到∠ACB+∠AFB+∠AEB=90°．

解答 解：∠ACB+∠AFB+∠AEB=90°，理由如下：
∵AE=$\sqrt{2}$，EF=1，EC=2，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{EF}{AE}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{EF}{AE}$，
而∠AEF=∠CEA，
∴△EAF∽△ECA，
∴∠EAF=∠ECA，
∵∠AEB=∠EAF+∠AFB，
而∠AEB=45°，
∴∠ACB+∠AFB+∠AEB=45°+45°=90°．

點評 本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用；再運用相似三角形的性質時主要利用相似比進行幾何計算和得到對應角相等．