Question

10．已知二次函數C₁：y=-ax²+bx+3a的圖象經過點M（1，0）、N（0，-3），其關于原點對稱后的二次函數C₂與x軸交于A、B兩點（點B在點A右側）與y軸交與點C，其拋物線的頂點為D．
（1）求對稱后的二次函數C₂的解析式；
（2）作出拋物線C₂的圖象，連接DC、BC、DB，求證：△BCD是直角三角形；
（3）在拋物線C₂圖象的對稱軸右側的拋物線上是否存在點P，使得△PDC為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）將點N（0，-3）代入y=-ax²+bx+3a求得a的值，然后再將點M的坐標代入可求得b的值與可得到二次函數C₁的解析式，然后通過配方可得到C₁的頂點坐標，然后由C₁與C₂關于原點對稱可得到二次函數C₂的解析式；
（2）先根據題意畫出圖形，然后再求得點B、C、D的坐標，接下來，依據兩點間的距離公式求得CD²、BC²、DB²的值，最后依據勾股定理的逆定理進行證明即可；
（3）當CD=DP時，依據二次函數和等腰三角形的對稱性可求得點P的坐標，當點P在CD的垂直平分線上時，可先求得CD的解析式，然后再求得CD的垂直平分線EP的解析式，然后求得PE與拋物線的交點坐標即可；根據圖形可知CP＞CD，故此不存在CD=PC的情況．

解答 解：（1）將點N（0，-3）代入y=-ax²+bx+3a得：3a=-3，解得a=-1，
∴二次函數C₁：y=x²+bx-3．
將M（1，0）代入拋物線的解析式得：1+b-3=0，解得b=2．
∴二次函數C₁：y=x²+2x-3=（x+1）²-4．
∵二次函數C₁與二次函數C₂關于原點對稱，
∴二次函數C₂：y=-（x-1）²+4．
（2）如圖1所示：

∵二次函數C₂：y=-（x-1）²+4．
∴D（1，4）．
∵當x=0時，y=3，
∴C（0，3）．
∵令y=0得-（x-1）²+4=0，解得x=3或x=-1，
∴B（3，0），A（-1，0）．
∵依據兩點間的距離公式可知CD²=（1-0）²+（4-3）²=2，BC²=（3-0）²+（3-0）²=18；BD²=（3-1）²+（4-0）²=20，
∴CD²+BC²=BD²．
∴△BCD是直角三角形．
（3）存在．
理由：①如圖2所示：

由拋物線的對稱性質可知：當點P與點C關于x=1對稱時，△CDP為等腰三角形，
∴P（2，3）．
②如圖3所示：當點P在CD的垂直平分線上時，△CDP為等腰三角形．

設CD的解析式為y=kx+3，將點D的坐標代入得：k+3=4，解得：k=1．
由中點坐標公式可知E（0.5，3.5）
∴直線PE的解析式y=-x+b，將E（0.5，3.5）代入得：-0.5+b=3.5，解得：b=4，
∴直線PE的解析式為y=-x+4．
將y=-x+4與y=-（x-1）²+4聯立，解得：x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$或x=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$（舍去）
∴y=-x+4=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$．
∴點P的坐標為（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）．
③∵當點P作點D右側的拋物線上運動時，PC＞PD，
∴不存在PC=PD的情況．
綜上所述，點P的坐標為P（2，3）或（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）時，△PCD為等腰三角形．

點評 本題主要考查的是二次函數的綜合應用，解答本題主要應用了待定系數法求二次函數的解析式，兩點間的距離公式，勾股定理的逆定理，分類討論是解答本題的關鍵．