Question

6．Rt△ABC中，∠C=90°，點D、E分別是△ABC邊AC、BC上的點，點P是一動點．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若點P在線段AB上，如圖（1）所示，且∠α=50°，則∠1+∠2=140°；
（2）若點P在邊AB上運動，如圖（2）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關系？說明理由．
（3）若點P在Rt△ABC斜邊BA的延長線上運動（CE＜CD）如圖（3）所示，則∠α、∠1、∠2之間有何關系？猜想并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接PC，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，再表示出∠1+∠2即可；
（2）連接PC，方法與（1）相同；
（3）利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和討論求解即可．

解答 解：（1）如圖（1），連接PC，
由三角形的外角性質，∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，
∵∠DPE=∠α=50°，∠C=90°，
∴∠1+∠2=50°+90°=140°，
故答案為：140°；

（2）∠1+∠2=90°+∠α；理由如下：
連接PC，如圖（2），
由三角形的外角性質，∠1=∠PCD+∠CPD，∠2=∠PCE+∠CPE，
∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C，
∵∠C=90°，∠DPE=∠α，
∴∠1+∠2=90°+∠α；
（3）∠2-∠1=90°+∠α或∠2-∠1=90°-α．理由如下：
分情況討論：
①如圖（3），由三角形的外角性質得：∠2=∠C+∠1+∠α，
∴∠2-∠1=90°+∠α；
②當P點運動至ED的延長線時，E，D，P三點共線，
此時∠DPE=0°，
∴∠2-∠1=90°+∠α；
③當P點繼續向右運動，此時EP在DP上方，
則∠2-90°=∠1-α，
∴∠2-∠1=90°-α；
綜上所述：∠α、∠1、∠2之間的關系為∠2-∠1=90°+∠α或∠2-∠1=90°-α．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了四邊形的內角和，三角形的內角和，三角形的外角的性質，平角的定義，解本題的關鍵是將∠1，∠2，α轉化到一個三角形或四邊形中，是一道比較簡單的中考常考題．