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如圖,二次函數的圖象與x軸交于點A(﹣1,0),B(2,0),與y軸相交于點C.

(1)求二次函數的解析式;

(2)若點E是第一象限的拋物線上的一個動點,當四邊形ABEC的面積最大時,求點E的坐標,并求出四邊形ABEC的最大面積;

(3)若點M在拋物線上,且在y軸的右側.⊙ M與y軸相切,切點為D.以C,D,M為頂點的三角形與△AOC相似,求點M的坐標.

(1);(2)E(1,4),4;(3)(),( ),(3,-4).

【解析】

試題分析:(1)把A、B的坐標代入即可得到答案;

(2)設 E(a,b),先表示出四邊形ABEC的面積S,再配方即可;

(3)分兩種情況討論, ,或

試題解析:(1)∵ 二次函數的圖象與x軸相交于點A(﹣1,0),B(2,0),

,解得:,∴ 二次函數的解析式為

(2)如圖1.

∵二次函數的解析式為與y軸相交于點C,∴ C(0,2),設 E(a,b),且a >0,b >0,∵ A(-1,0),B(2,0),∴ OA=1,OB=2,OC=2,則S四邊形ABEC= = ,∵ 點 E(a,b)是第一象限的拋物線上的一個動點,∴,∴,∴ 當四邊形ABEC的面積最大時,點E的坐標為(1,4),且四邊形ABEC的最大面積為4;

(3)如圖2.

設M(m,n),且m>0,∵ 點M在二次函數的圖象上,∴ ,∵ ⊙M與y軸相切,切點為D,∴ ∠MDC =90°,∵ 以C,D,M為頂點的三角形與△AOC相似,∴ ,或

①當n >2時,,解得 m1=0(舍去),m2= , 或m3=0(舍去),m4=-1(舍去);

②同理可得,當n<2時,m1=0(舍去) ,m2=,或m3=0(舍去),m4=3;

綜上,滿足條件的點M的坐標為(),( ),(3,-4).

考點:二次函數綜合題.

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