Question

20．在銳角△ABC中，邊BC長(zhǎng)為18，高AD長(zhǎng)為12
（1）如圖，矩形EFCH的邊GH在BC邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)E、F分別在AB、AC邊上，EF交AD于點(diǎn)K，求$\frac{EF}{AK}$的值；
（2）設(shè)EH=x，矩形EFGH的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)EH=KD=x，得出AK=12-x，EF=$\frac{3}{2}$（12-x），再根據(jù)S=$\frac{3}{2}$x（12-x）=-$\frac{3}{2}$（x-1）²+$\frac{3}{2}$，可得當(dāng)x=1時(shí)，S有最大值為$\frac{3}{2}$．

解答 解：（1）∵△AEF∽△ABC，
∴$\frac{EF}{BC}$=$\frac{AK}{AD}$，
∵邊BC長(zhǎng)為18，高AD長(zhǎng)為12，
∴$\frac{EF}{AK}$=$\frac{BC}{AD}$=$\frac{3}{2}$；

（2）∵EH=KD=x，
∴AK=12-x，EF=$\frac{3}{2}$（12-x），
∴S=$\frac{3}{2}$x（12-x）=-$\frac{3}{2}$（x-1）²+$\frac{3}{2}$，
當(dāng)x=1時(shí)，S有最大值為$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)．