Question

15．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任意取一點E，連結DE，作EF⊥DE，交射線AB于點F
（1）求sinC的值；
（2）若AF=CE，求CE的長；
（3）設CE=x，AF=y，求y關于x的函數表達式及函數y的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）過D作DH⊥BC于點H，在Rt△DHC中可由正弦的定義求得答案；
（2）設AF=CE=x，則可用x表示出BF、BE和EH，由條件可證明△BEF∽△HDE，利用相似三角形的性質可得到關于x的方程，可求得CE的長；
（3）分點E在線段BH和線段CH上兩種情況，分別利用△BEF∽△HDE，可得到y與x的函數表達式．

解答 解：
（1）如圖過D作DH⊥BC于點H，
∵AD∥BC，且AB∥DH，∠B=90°，
∴四邊形ABHD為矩形，
∴DH=AB=7，BH=AD=9，
∴CH=BC-BH=12-9=3，
在Rt△CDH中，CD=$\sqrt{C{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{58}$，
∴sinC=$\frac{DH}{CD}$=$\frac{7}{\sqrt{58}}$=$\frac{7\sqrt{58}}{58}$；

（2）當AF=CE時，可知點E在線段BH上，如圖1中，設AF=CE=x，
則BF=AB-AF=7-x，EH=EC-CH=x-3，BE=12-x，
∵∠FED=90°，
∴∠BFE+∠BEF=∠BEF+∠DEH=90°，
∴∠BFE=∠DEH，且∠B=∠DHE，
∴△BEF∽△HDE，
∴$\frac{BF}{EH}$=$\frac{BE}{DH}$，即$\frac{7-x}{x-3}$=$\frac{12-x}{7}$，整理可得x²-22x+85=0，
解得x=5或x=17
經檢驗x=5和x=17都是原方程的解，但x=17不合題意，舍去，
∴CE=5；

（3）當點E在線段BH上時，即3≤x≤12時，如圖1，
∵CE=x，AF=y，
∴BE=12-x，BF=7-y，EH=x-3，
同（2）可得$\frac{7-y}{x-3}$=$\frac{12-x}{7}$，整理可得y=$\frac{1}{7}$x²-$\frac{15}{7}$x+$\frac{85}{7}$；
當點E在線段CH上時，即0≤x＜3時，
則可得BE=12-x，BF=7-y，EH=3-x，
同（2）可得$\frac{7-y}{3-x}$=$\frac{12-x}{7}$，整理可得y=-$\frac{1}{7}$x²+$\frac{15}{7}$x$\frac{13}{7}$；
綜上可知y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{7}{x}^{2}+\frac{15}{7}x+\frac{13}{7}（0≤x＜3）}\\{\frac{1}{7}{x}^{2}-\frac{15}{7}x+\frac{85}{7}（3≤x≤12）}\end{array}\right.$．

點評 本題為四邊形的綜合應用，涉及矩形的判定和性質、三角函數的定義、勾股定理、相似三角形的判定和性質、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中構造直角三角形是解題的關鍵，在（2）（3）中利用相似三角形得到AF和CE之間的關系是解題的關鍵，注意分類討論．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．