Question

9．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成長方形零件PQMN，使長方形PQMN的邊QM在BC上，其余兩個頂點P，N分別在AB，AC上，求這個長方形零件PQMN面積S的最大值．

Answer 1

分析 設長方形零件PQMN的邊PN=a，PQ=x，則AE=80-x，利用△APN∽△ABC得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示a，故S=x•a，從而得出二次函數解析式，根據解析式及自變量取值范圍求S的最大值．

解答 解：設長方形零件PQMN的邊PN=a，PQ=x，則AE=80-x．
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC．
∴$\frac{PN}{BC}$=$\frac{AE}{AD}$．
因此，$\frac{a}{120}$=$\frac{80-x}{80}$．
解得a=120-$\frac{3}{2}$x．
所以長方形PQMN的面積S=xa=x（120-$\frac{3}{2}$x）=-$\frac{3}{2}$x²+120x．（3分）
當x=-$\frac{120}{2×（-\frac{3}{2}）}$=40時，a=60．（4分）
S_最大值=40×60=2400（mm²）．
所以這個長方形零件PQMN面積S的最大值是2400mm²．

點評 本題用二次函數的方法解決面積問題，是函數性質的實際運用，需要從計算矩形面積著手，求矩形的長、寬．