Question

10．如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸，y軸上，其中點A，C的坐標分別為A（1，0），C（0，2），點D是射線CB上-動點，已知反比例函數y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經過點D且與射線AB交于點E，連接DE．
（1）當點D為BC邊的中點時，求點E的坐標；
（2）當點D在CB的延長線上時，已知△BDE的面積為$\frac{1}{16}$，求k的值；
（3）是否存在點D及y軸上點F，使得以點D，E，F為頂點的三角形與△BDE全等？若存在，請直接寫出D點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、C的坐標可求得B點坐標，則可求得D點坐標，從而可求得反比例函數解析式，則可求得E點坐標；
（2）用k可分別表示出D、E的坐標，從而可表示出BD和BE的長，利用△BDE的面積可得到關于k的方程，可求得k的值；
（3）可設F（0，t），則可表示出CF、CD、DF的長，分點D在線段BC上和在線段CB的延長線上兩種情況，由△CDF∽△MFE，可得$\frac{DF}{EF}$=$\frac{CF}{EM}$，即$\frac{1-\frac{k}{2}}{2-k}$=$\frac{2-k-t+k}{1}$，解得t=$\frac{3}{2}$，再利用勾股定理列方程，可求得k的值，則可求得D的坐標．

解答 解：（1）∵四邊形OABC為矩形，A（1，0），C（0，2），
∴OA=1，OC=2，
∴B（1，2），
∵D為線段BC的中點，
∴D（$\frac{1}{2}$，2），
∴反比例函數解析式為y=$\frac{1}{x}$，
當x=1時，y=1，
∴E點坐標為（1，1）；

（2）由（1）可知OA=1，OC=2，
∴D（$\frac{k}{2}$，2），E（1，k），
∴BE=k-2，BD=$\frac{k}{2}$-1，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}$BD•BE=$\frac{1}{2}$（k-2）（$\frac{k}{2}$-1）=$\frac{1}{16}$，
解得k=$\frac{3}{2}$或k=$\frac{5}{2}$；

（3）存在．當點D在線段BC上時，過E作EM⊥y軸于點M，如圖1，

設F（0，t），則OF=t，CF=2-t，
由（2）可設D（$\frac{k}{2}$，2），E（1，k），
∴AE=OM=k，BE=2-k，CD=$\frac{k}{2}$，BD=1-$\frac{k}{2}$，MF=t-k，
∵△DEF≌△DEB，
∴DF=BD=1-$\frac{k}{2}$，EF=BE=2-k，
在Rt△CDF中，由勾股定理可得CD²+CF²=DF²，即（$\frac{k}{2}$）²+（2-t）²=（1-$\frac{k}{2}$）²，整理可得k=-t²+4t-3，
由△CDF∽△MFE，可得$\frac{DF}{EF}$=$\frac{CF}{EM}$，
∴$\frac{1-\frac{k}{2}}{2-k}$=$\frac{2-k-t+k}{1}$，
解得t=$\frac{3}{2}$，
∴k=-$\frac{9}{4}$+6-3=$\frac{3}{4}$，
∴D點的坐標為（$\frac{3}{8}$，2）．

點評 本題考查反比例函數綜合題、矩形的性質、全等三角形的判定和性質、勾股定理、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．