Question

14．如圖，△ABC中，∠C=90°．
（1）用尺規作圖作AB邊上的高CD．（保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明）；
（2）求證：∠BCD=∠A．

Answer 1

分析 （1）首先以C為圓心，任意長為半徑畫弧，交AB于E、F，在分別以E、F為圓心，大于$\frac{1}{2}$EF長為半徑畫弧，兩弧交于點N，再作射線CN，交AB于D，CD就是AB上的高；
（2）根據條件可得∠BCD+∠ACD=90°，再由直角三角形兩銳角互余可得∠A+∠ACD=90°，然后根據同角的余角相等可得結論．

解答 （1）解：如圖所示：


（2）證明：∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
∵CD是AB上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD．

點評 此題主要考查了復雜作圖，余角的性質，關鍵是掌握三角形高的定義，以及同角的余角相等．