Question

5．如圖，已知∠A=n°，若P₁點(diǎn)是∠ABC和外角∠ACE的角平分線的交點(diǎn)，P₂點(diǎn)是∠P₁BC和外角∠P₁CE的角平分線的交點(diǎn)，P₃點(diǎn)是∠P₂BC和外角∠P₂CE的交點(diǎn)…依此類推，則∠P_n=（　�。�

• A． $\frac{n°}{2n}$
• B． $\frac{n°}{2^n}$
• C． $\frac{n°}{{{2^{n-1}}}}$
• D． $\frac{n°}{2（n-1）}$

Answer 1

分析 易求得∠P₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠P₁CE=$\frac{1}{2}$∠ACE，再根據(jù)∠ACE=∠A+∠ABC，∠P₁CE=∠P₁+∠P₁BC，即可求得∠P₁=$\frac{1}{2}$∠A，即可解題；根據(jù)∠P₁=$\frac{1}{2}$∠A，易證∠BP₂C=$\frac{1}{2}$∠BPC，∠BP₃C=$\frac{1}{2}$∠BP₂C，即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律∠BP_nC=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A，即可解題．

解答 解：∵BP₁平分∠ABC，CP₁平分∠ACE，
∴∠P₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠P₁CE=$\frac{1}{2}$∠ACE，
∵∠ACE=∠A+∠ABC，∠P₁CE=∠P₁+∠P₁BC，
∴∠P₁=$\frac{1}{2}$∠A，同理∠BP₂C=$\frac{1}{2}$∠BP₁C，
∠BP₃C=$\frac{1}{2}$∠BP₂C，
由此可發(fā)現(xiàn)規(guī)律∠BP_nC=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A=$\frac{n°}{{2}^{n}}$．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)角和為180°的性質(zhì)，考查了三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角和的性質(zhì)，考查了角平分線的性質(zhì)，本題中求得∠P₁=$\frac{1}{2}$∠A是解題的關(guān)鍵．