Question

6．頂點(diǎn)為（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{17}{4}$）的拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)A（0，-4），E（0，b）（b＞-4）為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)y=x+b與拋物線(xiàn)交于B、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）①如圖1，當(dāng)b=0時(shí)，求證：E是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)；
②當(dāng)b≠0時(shí)，E還是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)嗎？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)橹�道拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，所以可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：y=a（x+$\frac{1}{2}$x）²-$\frac{17}{4}$，把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出a的值即可求出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）①分別過(guò)點(diǎn)B、C作BM⊥y軸于點(diǎn)M，CN⊥y軸于點(diǎn)N，當(dāng)b=0時(shí)，直線(xiàn)BC為y=x，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合，聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的解析式可求出B，C點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到BM=CN=2，再通過(guò)證明△BME∽△CNE，由相似三角形的性質(zhì)可得：BE：CE=BM：CN，故BE=CE；②當(dāng)b≠0時(shí)，E還是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、C作BP⊥y軸于點(diǎn)P，CQ⊥y軸于點(diǎn)Q，其他過(guò)程同①．

解答 （1）解：據(jù)題意可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{17}{4}$．
把x=0，y=-4代入，得-4=a（0+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{17}{4}$，
解得a=1，
∴拋物線(xiàn)的解析式為y=（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{17}{4}$=x²+x-4．

（2）①證明：分別過(guò)點(diǎn)B、C作BM⊥y軸于點(diǎn)M，CN⊥y軸于點(diǎn)N．（如圖1）
當(dāng)b=0時(shí)，直線(xiàn)BC為y=x，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合．
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}+x-4}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-2}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$．
則B、C的坐標(biāo)分別為（2，2）、（-2，-2），
即BM=CN=2．
又BM⊥y軸，CN⊥y軸，
∴BM∥CN，
∴△BME∽△CNE，
即BE：CE=BM：CN，
故BE=CE．
②解：E還是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)．理由如下：
如圖2，分別過(guò)點(diǎn)B、C作BP⊥y軸于點(diǎn)P，CQ⊥y軸于點(diǎn)Q．
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{y={x}^{2}+x-4}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\sqrt{b+4}}\\{{y}_{1}=\sqrt{b+4}+6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\sqrt{b+4}}\\{{y}_{2}=-\sqrt{b+4}+b}\end{array}\right.$．
則B、C的坐標(biāo)分別為（$\sqrt{b+4}$，$\sqrt{b+4}$+b），（-$\sqrt{b+4}$，-$\sqrt{b+4}$+b），
即BP=CQ=$\sqrt{b+4}$．
同樣可得△BPE∽△CQE，
即BE：CE=BP：CQ，
故BE=CE

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)以及解二元二次方程組，在求有關(guān)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)要注意分析題意分情況討論結(jié)果．