Question

1．如圖，在△ABC中，∠C=90°，點D在BC上，AD=BD=5，cos∠ADC=$\frac{3}{4}$．
（1）求△ABC的周長；
（2）求sin∠DAB的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ADC中，由cos∠ADC=$\frac{3}{4}$、AD=5求得CD=3，根據勾股定理分別求得AC、AB，即可得答案；
（2）由AD=BD知∠DAB=∠B，從而由sin∠DAB=sinB可得答案．

解答 解：（1）在Rt△ADC中，∵cos∠ADC=$\frac{3}{4}$、AD=5，
∴CD=3，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}-C{D}^{2}}$=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴△ABC的周長為12+4$\sqrt{5}$；

（2）∵AD=BD，
∴∠DAB=∠B，
∴sin∠DAB=sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{4\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題主要考查解直角三角形及等腰三角形的性質，熟練掌握勾股定理和三角函數的定義是解題的關鍵．